수학 기본 개념 : 지수함수와 로그함수

 

지수함수

지수함수(exponential function)는 어떤 수를 밑으로 해서 그 수의 거듭제곱으로 이루어진 함수다. 식 1과 같은 함수를 지수함수라고 한다. 상수 a는 지수함수의 밑(base)이라고 하고, x가 지수(exponent)이다. 이 함수는 밑 "a"를 "x"번 곱하는 것을 의미한다.

식 1. 지수함수

x가 0일때는 y값이 1이 되고, x가 1일 때는 y 값이 a가 된다. 지수함수는 "a"의 값에 따라 그래프의 모양이 달라지는데, 보통 지수함수는 a > 1인 경우 증가하는 그래프를 가지고, 0 < a < 1인 경우 감소하는 그래프를 가진다.

그림 1. 지수함수의 그래프

 

지수함수를 계산할 때 다음의 공식들이 성립한다.

식2. 지수함수의 성질

 

밑의 값으로 특히 중요한 것은 자연상수 e이다. 자연상수 e는 다음과 같은 근사값을 갖는다. 

식 3. 자연상수

자연상수를 포함하는 지수함수를 분모로 갖는 함수가 시그모이드 함수이다.

 

로그함수

로그함수는 어떤 수를 밑으로 하여 그 수의 거듭제곱이 x가 되는 수를 구하는 함수다. a > 0이고 a가 1이 아닐때 x가 양수인 경우, 로그함수는 식 4와 같이 표현된다. 로그함수는 밑 "a"를 몇 번 곱해야 x가 되는지를 나타낸다. 예를 들어, a가 2인 경우, f(x) = log₂(x)는 2를 몇 번 곱해야 x가 되는지를 나타내며, log₂(8)은 3이 된다. 

식 4. 로그함수

 

지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계이다. 지수함수 y=ax (a>1) 일 때 아주 빠르게 증가하는 함수이고, 로그함수 y=logaX는 아주 느리게 증가하는 함수다. 로그 함수는 식 5와 같은 성질을 가진다.

식 5. 로그함수의 성질

 

자연 로그(natural log) 함수는 로그 함수의 특별한 형태로, 밑이 오일러 수(e, 약 2.71828)인 로그 함수다. 자연 로그 함수는 log_e 또는 ln으로 표기한다.

 

로그 함수는 데이터가 넓은 범위를 가질 때 데이터를 다루기 쉽게 만들어주므로, 데이터 분석, 신호 처리, 알고리즘 복잡도 계산 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히 인공지능 분야에서는 가능성을 나타내는 척도로 likelihood(가능도)를 사용하는데, likelihood는 식으로만 보면 확률을 계산하는 식과 같고 0이상 1이하의 값을 가진다. 값이 1이하이기 때문에 likelihood 함수를 계속 곱하다보면 그 값이 점점 작아져서 다루기가 어려워지는데 이런 점을 보완하기 위해서 log likelihood 함수를 많이 사용한다.