수학 기본 개념 : 적분

 

적분이란?

적분(integration)은 미분과 밀접한 관련이 있는데, 우선 적분을 이해하기전에 미분을 얘기해보자면 미분은 '함수의 그래프를 무한히 확대했을 때 직선의 기울기'로 볼 수 있다. 미분은 함수의 순간 변화율을 나타내는 반면, 적분은 이러한 변화율을 통합하여 원래의 함수를 구하는 것이다. 적분은 '함수의 그래프와 직선 y=0 사이에 있는 도형의 면적'으로 볼  수 있다.

 

적분은 주어진 함수를 더 작은 구간으로 나누어 각 구간에서의 함수 값을 합산하는 과정으로 이해할 수 있는데, 각 구간에서의 함수 값은 그 구간에서의 평균 함수 값으로 근사하여 계산된다. 이러한 근사 과정을 더 작은 구간으로 나누어서 반복하면, 함수의 적분 값에 대한 근사치를 구할 수 있다. 

 

 

적분은 크게 부정적분과 정적분으로 나눌 수 있다.

부정적분(Indefinite Integral)

불정적분은 미분의 반대 개념으로 이해할 수 있다. 함수 f(x)의 미분 결과가 주어졌을 때, 원래의 함수를 찾는 과정이 부정적분이다. 이를 기호로 표현하면 ∫f(x) dx라고 씁니다. 이때 ∫ 기호는 적분 기호라고 한다.

예를 들어, 함수 f(x) = 2x를 미분하면 f'(x) = 2가 된다. 반대로 f'(x) = 2일 때, 원래의 함수 f(x)를 찾는 과정을 부정적분이라고 한다.

정적분(Definite Integral)

정적분은 두 개의 경계값 a와 b 사이에서 함수 f(x) 아래의 면적을 구하는 것을 의미한다. 이를 기호로 표현하면 ∫_a^b f(x) dx라고 씁니다. 이때 a와 b는 적분의 하한과 상한을 의미한다.

정적분의 결과는 숫자이며, 그 값은 함수의 아래 영역을 나타내는 면적에 해당한다.

부정적분과 정적분은 미적분학의 기본적인 개념이며, 물리학, 공학, 경제학 등 많은 분야에서 사용된다.