수학 기초 개념 : 삼각함수

삼각함수는 각도의 크기와 삼각형의 변의 길이 사이의 관계를 설명하는 함수다. 쉽게 표현하면 각의 크기에 따라 값이 달라지는 함수, 즉 각의 크기가 변수인 함수를 말한다. 가장 일반적인 삼각함수로는 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan)가 있다. 이들은 삼각형의 각도와 변의 비율을 사용해서 계산된다. 그림 1에서 내각 θ를 고정했을 때 변의 길이가 달라지더라도 삼각형의 모양 자체는 큰 변화가 없다. x/r, y/r 같은 변 간의 비율은 일정하게 유지되는데 이때의 비율을 삼각비(trigonometry ratio)라고 한다. 삼각비는 각도 θ에 따라 달라진다.

그림 1. 삼각비의 정의

 

사인(sin): sin은 임의의 각 θ에 대해 직각삼각형에서 빗변에 대한 대변의 비율이다. 즉, sin(θ) = y/r 이다.

코사인(cos): cos은 임의의 각 θ에 대해 직각삼각형에서 빗변에 대한 밑변의 비율이다. 즉, cos(θ) = x/r 이다.

탄젠트(tan): tan은 임의의 각 θ에 대해 직각삼각형에서 대변에 대한 밑변의 비율이다. tan은 또한 사인과 코사인의 비율로도 정의된다. 즉, tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = y/x 이다.

 

이러한 삼각함수들은 단위원을 이용해 그래프로 표현할 수 있다. 사인과 코사인은 주기적인 파형을 형성하며, 탄젠트는 주기적으로 무한대와 음의 무한대 사이를 진동하는 형태를 가진다. 이 외에도 코시크(sec), 시크(csc), 코탄젠트(cot)와 같은 역삼각함수도 있다. 이들은 각각 사인, 코사인, 탄젠트의 역수로 정의된다.

 

 

 

보통 일상적으로 사용하는 각의 표현 방법은 원이 한 바퀴를 도는데 필요한 각을 360도 표현한 '도수법'을 사용한다. 30도, 45도, 90도와 같이 표현한 것을 도수법이라고 하고, 삼각함수에서는 '호도법'이라는 개념을 많이 사용한다. 그림 2와 같이 반지름이 r인 원에서 그 반지름과 같은 호 AB가 있을 때, 그 중 삼각의 크기는 항상 일정하다. 이때의 각을 1라디안이라 부르고, 1rad로 표기한다.

그림 2. 호도법

반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 부른다. 단위원을 한 바퀴 도는데 필요한 호의 길이는 2π이다. 그래서 호도법에서는 원의 중심각인 360도를 2π로 표현한다. 그러면 반원(180도)는 π라고 볼 수 있다. 따라서 도수법으로 어떤 각을 알고있을 때 그 각의 호도법으로 표현하고 싶다면 360도=2π의 관계를 이용하면 된다. 도수법과 호도법을 따로 사용하는 이유는 호도법의 경우 라디안 단위로 측정된 각을 사용하면, 삼각함수의 미분과 적분을 훨씬 간단하게 할 수 있기 때문이다. 반면에 도수법은 일상생활에서 각을 나타낼 때 또는 각이 360도나 90도와 같은 간단한 분수로 나타나야 하는 경우에 더 적합하다.